注本文为 “ 数学思想如何在质疑中前行” 相关合辑。略作重排如有内容异常请看原文。广中平祐我从格罗滕迪克身上认识到了数学家的多样性广中平祐 数理人文 2024 年 12 月 21 日 15:27 北京格罗滕迪克对数学的执念和热情十分惊人。他的这种执念和热情是从哪里来的呢带着这样的疑问仔细观察他的学术态度后我认为这可能来自于他经历过的让人难以想象的逆境。在我看来世上的所有成功人士都具备把逆境转化为自己人生宝贵财富的能力。不得不承认创造也与逆境密不可分。我在巴黎遇到过一位学者这一点在他的身上体现得淋漓尽致。1958 年也就是我在哈佛大学留学的第二个年头学校从法国请了一位数学家过来讲课。这位数学家叫亚历山大·格罗滕迪克Alexander Grothendieck在代数几何领域他是一位赫赫有名的大人物。当时致力于研究代数几何的约翰·泰特John Tate教授在哈佛大学任教在他的建议下校方决定让格罗滕迪克来美国做为期一年的特聘讲师。格罗滕迪克不是高校的教授他是法国高等科学研究所IHES的研究人员。法国高等科学研究所是一个私立研究所主要创始人是原巴黎大学的数学教授迪厄多内Dieudonné和酷爱数学的实业家莫查纳Motchane经费也主要是他们两人从商界筹集来的。当时哈佛大学看中格罗滕迪克的才华向他抛出橄榄枝。如此能力出众的他为何从来没有在大学担任过教授呢这跟他的出身有关。与扎里斯基教授一样格罗滕迪克也是犹太人1928 年出生于德国柏林父亲是革命家母亲是记者。在第二次世界大战期间他被迫进入德国的收容所16 岁时随母亲一起来到法国。受时代背景和家庭环境所限他未接受过正经的初等教育。然而他进入蒙彼利埃大学后充分展现了自己的数学才能并在后来成为菲尔兹奖得主。格罗滕迪克是如何躲过德国纳粹的围捕逃到法国的呢他在蒙彼利埃大学是跟随哪位教授学习从而挖掘出数学才能的呢在成为法国高等科学研究所的研究人员之前他又经历了什么呢对此我几乎一无所知但我知道他是犹太人而且没有国籍。美国的大学向所有的有识之士敞开教学的大门完全不介意教授是否有国籍也不介意国籍是哪里哈佛大学就是如此。但是法国和日本很像奉行等级森严的官僚制度无国籍人士是不允许担任大学教授的现在似乎有所改变。尽管拥有聪明的头脑和高深的研究课题但因为自己的出身格罗滕迪克从未当过教授。幸运的是我在哈佛大学留学期间听了一年他的课。当时的格罗滕迪克将研究领域从解析几何转向代数几何后开始了彻底改写代数几何学基础的工作不断推进概型理论的创立。在听课和切磋学术的过程中我与格罗滕迪克成为好朋友。有一天他问我等他在哈佛大学的教学任务结束以后是否愿意与他一起回巴黎的研究所。当时格罗滕迪克对我的研究给予了很高的评价并邀请我到法国高等科学研究所工作 6 个月。在第二次世界大战爆发之前德国是研究数学的中心战后中心转移到了法国。20 世纪 50 年代法国数学称霸整个欧洲全世界的顶尖数学家都聚集在那里。数学这门学问具有极强的国际性。有一种观点认为数学家若不具备这种国际性就算不上真正的数学家。我自然接受了格罗滕迪克的邀请。1959 年年底我来到了期待已久的法国。现在的法国高等科学研究所位于巴黎郊外一个叫伊薇特河畔比尔的地方规模相当庞大。然而当初的研究所只是租用了市内一家博物馆的一层楼研究所内仅有办公室和教室。成员只有四人包括创建者迪厄多内和莫查纳还有被迪厄多内发现的格罗滕迪克以及一位秘书。我是这个研究所的第一个外来成员。在此后的半年间我既是研究所的成员又是格罗滕迪克的学生。虽然仅有短暂的半年时间但我学到了很多宝贵的东西。格罗滕迪克是个了不起的人物他能在数学世界中无所畏惧地进行探索。一般来说数学家会花很长时间来选择适合自己的研究课题但他是一位非常豪爽、不拘小节的“怪才”无论碰到什么课题都照单全收。他精力充沛一天之内能写出一二百页的论文并能从中迸发出新的想法。总之他是一位非同寻常的激进型学者。1966 年在莫斯科召开的国际数学家大会上格罗滕迪克被授予菲尔兹奖他开创了代数几何的一个新纪元。他的主要成就简单来说就是为了严密地证明韦伊猜想在代数几何学的基础上完全使用了上同调代数学并提出了“格罗滕迪克同调”的新概念。我从格罗滕迪克身上认识到了数学家的多样性并且受到了他的影响。同时从格罗滕迪克对数学这门学问的态度中我学到了无法替代的东西。格罗滕迪克从来没有向我倾诉过他的艰辛经历。一是他不是这样的人二是即使我向他打听也无法真切地感受到他从德国的收容所逃到法国没有国籍专心钻研数学的残酷经历。此外对于他人眼中那些凝结着心血与汗水的艰辛经历他本人可能从未觉得困难和辛苦。例如我曾告诉别人自己上大学的时候因为缺钱买不起昂贵的书所以一到暑假就借来教授的书回到老家将书上的内容整个誊抄到大学笔记本上。还说过自己用买学士帽的钱买了一本书大学时期与朋友们一起去海边玩的时候其他人都穿着泳裤只有我穿着兜裆布读本科和研究生的七年我住在仅有三张榻榻米大小的屋子里把一个盛橘子的空箱子当成书桌下面再垫一些书作为支撑铺的褥子和盖的被子全都是没有布面的一层薄薄的棉絮。很多人听了我的故事后会注视着我说“真是苦了你了。”然而我聊这些经历并不是为了表达自己过去有多么辛苦。实际上我偶尔还会给弟弟生活费。我承认当时的学生生活贫困不堪但我并没有感觉辛苦。人在对某件事着迷的时候即使吃再多的苦也不会觉得辛苦。虽然我的经历完全无法与格罗滕迪克的相比但通过我自己的经历可以推测他应该也不曾感到辛苦。无论如何我认为连续不断的逆境最终转化为他对数学的热情也许正是这一腔热情支撑着他干劲十足地开展着创造性活动。有人曾说艺术家若想一直从事创造性活动就要保持饥渴的状态。我从格罗滕迪克这样的数学家身上发现这句话也适用于学术界的创造性活动。我认为学者也是如此若不保持饥渴状态就无法持续地进行创造。人们普遍认为数学这门学问与感情或热情没有什么关系但按照前面所讲的内容数学的创造性活动似乎与热情有着千丝万缕的联系。看上去与人的热情无缘的自然科学在我们创造新的理论、定律、定理时恐怕都要大力借助这种热情的力量。从欧几里得到罗巴切夫斯基陈永明 好玩的数学 2023 年 10 月 18 日 07:02 江西让几何知识形成一个完整体系的人是欧几里得。欧几里得是古希腊的数学家人们对他的生平事迹所知甚少。欧几里得生于大约公元前 330 年他写了一本《几何原本》把当时古希腊的几何知识汇集在一起。作者 | 陈永明来源 | 图灵新知ID:Tuling963一些西方国家的学者认为几何学起源于古埃及。古埃及文明的“母亲河”——尼罗河常常泛滥洪水把耕地淹没人们死的死逃的逃。洪水一退外逃的人们回来了可哪一块土地是我的哪一块土地是你的呢人们不得不重新测定土地。就这样几何学诞生了。其实各个文明在与大自然的斗争中都积累了一定的几何知识。比如中华民族也在长期的生产实践中掌握了大量几何知识。西安市的半坡遗址博物馆里就陈列着许多绘制着菱形、方形等图案的陶器。春秋战国时期的墨子早就给圆下了一个定义“圆一中同长也。”01 欧氏几何的“污点”让几何知识形成一个完整体系的人是欧几里得。欧几里得是古希腊的数学家人们对他的生平事迹所知甚少。欧几里得生于大约公元前 330 年他写了一本《几何原本》把当时古希腊的几何知识汇集在一起。而且他所做的不是简单地汇集知识而是从一些原始概念和公理出发推证出一系列定理使几何知识形成一个严密的体系。后来《几何原本》由明代的徐光启和传教士利马窦首次翻译成中文被介绍到中国来。我们在中学里学习的平面几何基本上仍然遵循《几何原本》的体系。我所在的上海市徐汇区就是徐光启的故乡。这个区的徐家汇街道保留了徐光启的坟墓和后人为纪念他而树立的塑像。利马窦之墓在北京我也曾经去瞻仰过。大家对《几何原本》里的众多公理都没有意见唯独对欧几里得第五公设的意见很大认为它不像公理而像一条定理。把它作为公理放在《几何原本》里是《几何原本》的一个“污 点”。第五公设又称平行公理用现在的等价公理来表达是这样的“过直线外的一点能且只能作一条直线和它平行。”很多数学家认为第五公设不像公理而像一条定理因此企图证明它。在欧几里得以后的 2000 多年里数学家从未间断过这一努力有人甚至花了毕生的精力想把它证出来可是没有成功。19 世纪初期有一位叫罗巴切夫斯基的俄国数学家起初他对第五公设也有疑问也想证明它而且他自认为找到了一个证法。可是后来他发觉这个证法有错误就没有把这个“证明”编进自己的讲义。然而他仍不死心想用反证法证明平行公理。因此他假定“过直线外一点可以作两条以上的直线和它平行”然后进行了一系列推理。他本来希望得出矛盾从而推翻自己的假定借此证明第五公设成立。但是他推啊推竟然导出一套定理逻辑上没有自相矛盾的地方。这样一来就形成了建立在崭新的公理——过直线外一点可以作两条以上的直线和它平行——之上的一套几何知识体系这就是非欧几里得几何学的一种——罗巴切夫斯基几何。罗巴切夫斯基的这一成果是革命性的所以后人称他为“几何学里的哥白尼”。罗巴切夫斯基当年的处境却很惨受尽了同行们的讽刺和打击。但是他以大无畏的精神捍卫自己的新思想。他第一次写出的非欧几何论文在交付审查时竟被评委们遗失了。自 1829 年他的著作出版以后他就不断宣传自己的理论直到逝世前一年他在失明的情况下还口授写成了最后一本著作。02 鲍耶·亚诺什和黎曼对非欧几何做出杰出贡献的还有罗巴切夫斯基的同代人——匈牙利人鲍耶·亚诺什。鲍耶的父亲老鲍耶是大数学家高斯的同学曾经致力于平行公理的证明却毫无收获。年轻的小鲍耶对第五公设也很感兴趣老鲍耶知道后立即写信给他希望他放弃这个课题。老鲍耶说“它会剥夺你所有的时间剥夺你的健康剥夺你的幸福这个地狱般的黑洞将吃掉成千个像牛顿一样的人……”小鲍耶没有听从父亲的劝告经过努力也终于创立了非欧几何。他的论文发表了只比罗巴切夫斯基晚了三年。小鲍耶将论文寄给高斯。高斯看了论文后说这个匈牙利青年有很高的天分又说他“和自己四十年来思考所得的结果不约而同”。小鲍耶的心胸不太开阔他还以为高斯想剽窃自己的成果。到了 1840 年当他读到罗巴切夫斯基的论文的翻译版时更是意志消沉从此就不再发表任何数学成果了。无论是父亲恫吓式的劝告还是工作中的困难都没有使他停止研究但他反而栽在了自己手里真是可惜。高斯确实研究了非欧几何并取得了一点儿成果但是他生前从来没有发表过这方面的任何论文。这是因为他怕在社会上引起巨大反响他是个明哲保身的人。后人认为虽然罗巴切夫斯基、鲍耶·亚诺什和高斯这三个人都独立地发现了非欧几何但高斯和鲍耶的贡献都无法和罗巴切夫斯基相比。罗切夫斯基对传统欧几里得几何动了“手术”这使后来的数学家打破了迷信原来这个“欧氏殿堂”是可以冲击一下的。所以数学家们纷纷从各种角度对欧几里得几何进行革新。1854 年黎曼构造了另一种非欧几何——黎曼几何。黎曼几何也是改变了欧几里得几何的平行公理不过他是从另一个方向改变的他假定“过直线外一点不可能作直线和它平行。”从这点出发他也推出了一个不自相矛盾的体系。在非欧几何里许多性质发生了变化。譬如三角形的内角和在欧氏几何里等于 180°在罗氏几何里小于 180°而在黎曼几何里则大于 180°。03 没有非欧几何就没有相对论有人或许会问欧氏几何的用处是实实在在的罗氏几何和黎曼几何有什么用处呢用处可大呢可以这样说没有非欧几何就没有爱因斯坦的相对论。爱因斯坦的相对论指出物理空间在巨大的质量附近会弯曲。比如我们在地球上某一点O观察某两颗恒星A和B设∠AOBθ。如果爱因斯坦的理论不成立那么不管有没有太阳的干扰θ的值应该不变如果他的理论成立那么在有太阳干扰时和没有太阳干扰时θ的值应该有变化。但是在正常情况下相关证明的实验是很难进行的。因为在强烈的阳光下人们根本看不到恒星A和B。这项实验只能在日全食发生的时候才能实施。1919 年西非发生了日全食。一支英国天文学考察队伍前往西非的普林西比群岛进行实地观察。结果科考人员发现θ的值在有太阳和没有太阳的情况下相差 1.61±0.30。而爱因斯坦的理论计算指出这两个值应该相差 1.75误差甚小。不要小看这小小的 1 点几秒这一点差距足以说明太阳的巨大质量确实使恒星A和B射来的光线发生了弯曲从而证实了爱因斯坦的相对论的正确性。这同时也说明宏观地看我们其实生活在三角形内角和不等于 180°的空间里也就是说我们生活在非欧几何的空间里。解析几何 代数几何关系与层级一、定义1. 解析几何Analytic Geometry本质用坐标 初等代数研究几何图形。研究对象直线、圆锥曲线、圆、椭圆、双曲线、抛物线、平面、二次曲面等低次、简单几何形体。工具笛卡尔坐标系、方程、联立求解、斜率、距离、向量、初等函数。范围高中、大学高数基础内容只涉及一次、二次代数方程。2. 代数几何Algebraic Geometry本质用抽象代数环、域、理想、概形研究任意次数代数方程定义的几何对象。研究对象任意高次代数曲线、代数曲面、代数簇、概形、模空间等复杂几何结构。工具近世代数、交换代数、同调代数、层上同调、拓扑。范围纯数学高阶方向是现代数学核心分支之一。二、两者的递进关系解析几何是代数几何的初等特例、入门版本**解析几何只看一次、二次方程对应的几何图形代数几何推广到任意n次、多元方程组定义的一切几何对象。底层思想完全一致共同核心思想几何问题 ↔ 代数方程问题把几何形体翻译成代数方程组用代数运算解决几何问题再还原几何性质。解析几何是这个思想的初级落地代数几何是极致抽象与推广。研究层级差异解析几何具体、坐标化、低次、直观代数几何抽象、无坐标内禀、高次、高维、非直观三、区别对照维度解析几何代数几何代数工具初等代数、坐标系交换代数、环论、理想、概形方程次数仅限一次、二次任意高次、多元多项式方程组研究对象直线、圆锥曲线、二次曲面代数曲线、代数簇、概形、模空间空间维度低维2D、3D为主任意高维、抽象空间直观性可画图、几何直观强大多无法直观画图靠代数结构推理学习阶段高中、大一基础课研究生纯数学高阶方向四、总结解析几何用初等代数处理低次几何图形是具象坐标化版本代数几何把这套“几何转代数”的思想全面抽象、推广到任意高次高维是解析几何的高阶抽象升华与理论大一统。五、补充和其他分支的边界解析几何 初等几何 坐标代数代数几何 代数 几何 拓扑 同调的交叉高地微分几何 是用微积分研究几何和代数几何工具路线不同但现代三者有大量交叉融合。欧氏几何、罗氏几何、黎曼几何 三角形内角和三角形内角和是不是180°取决于所在的「空间是平直的还是弯曲的」。一、先铺垫基础平面几何里有一条第五公设平行公设过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行。三种几何就是对这条公设改了规则直接导致三角形内角和变了。二、欧氏几何欧式几何规则遵循经典平行公设过直线外一点恰好一条平行线。空间形态平面、平直空间没有任何弯曲就是我们课本里的普通平面。三角形内角和严格等于 180°日常桌面、纸上画三角形都属于欧氏几何。三、罗氏几何罗巴切夫斯基几何 / 双曲几何规则改掉平行公设过直线外一点可以作无数条直线和已知直线平行。空间形态负曲率弯曲空间像马鞍面、喇叭口、向内凹陷的曲面。三角形内角和小于 180°在马鞍面上画一个三角形三条边都是“最短曲线”拼起来三个角加起来一定不到180度。曲面弯得越厉害内角和比180°小得越多。四、黎曼几何球面几何 / 椭圆几何规则彻底否定平行公设过直线外一点一条平行线也作不出来任意两条直线一定会相交。空间形态正曲率弯曲空间最典型就是球面地球表面。球面上的“直线”大圆航线比如赤道、经线。三角形内角和大于 180°举个例子取地球北极、赤道上经度0°点、赤道上经度90°点三点连球面三角形两个赤道角都是90°顶角90°内角和直接等于270°远大于180°。五、总结欧氏几何平直平面 → 内角和 180°罗氏几何马鞍负曲率 → 内角和 180°黎曼几何球面正曲率 → 内角和 180°六、深层本质三种几何不是谁对谁错只是空间曲率不同曲率 0 → 欧氏几何曲率 0 → 罗氏几何曲率 0 → 黎曼几何爱因斯坦广义相对论里时空是弯曲的用的就是黎曼几何做数学工具。Reference广中平祐我从格罗滕迪克身上认识到了数学家的多样性https://mp.weixin.qq.com/s/2J5bIOKctcT_cM2TC8yVLw从欧几里得到罗巴切夫斯基https://mp.weixin.qq.com/s/vmz8b4JzTMW7YqHXKC8j1w