【高等数学】第八章 向量代数与空间解析几何——第三节 平面及其方程 - 指南

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• 1. 曲面方程与空间曲线方程的概念
• 2. 平面的点法式方程
• 3. 平面的一般方程
• 4. 两平面的夹角

1. 曲面方程与空间曲线方程的概念

• 曲面方程
  如果曲面$S$与三元方程$$F(x,y,z)=0$$
  有下述关系:
  (1) 曲面$S$上任一点的坐标都满足方程;
  (2) 不在曲面$S$上的点的坐标都不满足方程.
  那么方程就叫做曲面$S$的方程，而曲面$S$就叫做方程的图形.
• 空间曲线方程
  空间曲线可以看作两个曲面$S_1$、$S_2$的交线.
  设$F(x,y,z)=0，G(x,y,z)=0$
  分别是这两个曲面的方程，它们的交线为$C$
  因为曲线$C$上的任何点的坐标应同时满足这两个曲面的方程
  所以应满足方程组$$\{\begin{array}{l}F(x,y,z)=0,\\ G(x,y,z)=0.\end{array}$$
  反过来，如果点$M$不在曲线$C$上
  那么它不可能同时在两个曲面上
  所以它的坐标不满足方程组.
  因此，曲线$C$可以用方程组来表示，方程组就叫做空间曲线$C$的方程
  而曲线$C$就叫做方程组的图形.

2. 平面的点法式方程

• 如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做该平面的法线向量
• 已知平面上的点$M_0(x_0,y_0,z_0)$以及它的一个法向量$\mathbf{n}=(A,B,C)$，可得平面的点法式方程$$A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$$

  容易验证平面上的点都满足方程，不在平面上的点不满足

3. 平面的一般方程

• 任一三元一次方程的图形始终一个平面，平面的一般方程为$$Ax+By+Cz+D=0$$其中$x,y,z$的系数是该平面的一个法线向量的坐标

  取满足方程的数$x_0,y_0,z_0$，与一般方程相减可得平面的点法式方程

• 平面的截距式方程$$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$$其中$a,b,c$分别是平面在$x,y,z$轴上的截距

  将截点坐标代入平面一般方程，解方程组求得
  平面过原点不能使用该形式

4. 两平面的夹角

• 两平面的法线向量的夹角（通常指锐角或直角）称为两平面的夹角
  $$\cos ⟨{\mathbf{n}}_1,{\mathbf{n}}_2⟩=\frac{{\mathbf{n}}_1\cdot {\mathbf{n}}_2}{|{\mathbf{n}}_1||{\mathbf{n}}_2|}$$
• 平面${\Pi }_1$、${\Pi }_2$互相垂直相当于$A_1{A}_2+B_1{B}_2+C_1{C}_2=0$
• 平面${\Pi }_1$、${\Pi }_2$互相平行或重合相当于$\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2}$
• 点$P_0(x_0,y_0,z_0)$到平面$Ax+By+Cz+D=0$的距离公式
  $$d=\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C{z}_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}.$$

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