数字信号处理IIR与FIR笔记

数字信号处理IIR与FIR笔记一、IIR与FIR系统的基本判别1.1 基于系统函数H(z)H(z)H(z)的零极点判别系统函数通式H(z)∑m0Mbmz−m1∑k1Nakz−k H(z) \frac{\sum_{m0}^{M} b_m z^{-m}}{1 \sum_{k1}^{N} a_k z^{-k}}H(z)1∑k1N​ak​z−k∑m0M​bm​z−m​FIR系统有限长单位冲激响应当所有ak0a_k 0ak​0即分母为1时系统函数仅含零点分子多项式无极点除z0z0z0外称为全零点系统。IIR系统无限长单位冲激响应只要存在任意ak≠0a_k \neq 0ak​0系统函数必有极点分母不为1此时为全极点或零极点混合系统。1.2 基于差分方程的结构判别差分方程通式y(n)∑m0Mbmx(n−m)−∑k1Naky(n−k) y(n) \sum_{m0}^{M} b_m x(n-m) - \sum_{k1}^{N} a_k y(n-k)y(n)m0∑M​bm​x(n−m)−k1∑N​ak​y(n−k)递归结构IIR若至少有一个ak≠0a_k \neq 0ak​0输出y(n)y(n)y(n)依赖于过去输出y(n−k)y(n-k)y(n−k)形成反馈回路系统为递归型对应无限长单位冲激响应。非递归结构FIR若所有ak0a_k 0ak​0输出y(n)y(n)y(n)仅依赖于当前及过去输入x(n−m)x(n-m)x(n−m)无反馈系统为非递归型对应有限长单位冲激响应。二、典型系统的单位冲激响应分析2.1 一阶IIR系统示例差分方程y(n)x(n)ay(n−1)y(n) x(n) a y(n-1)y(n)x(n)ay(n−1)系统函数H(z)11−az−1zz−a(∣z∣∣a∣)H(z) \frac{1}{1 - a z^{-1}} \frac{z}{z - a} \quad (|z| |a|)H(z)1−az−11​z−az​(∣z∣∣a∣)单位冲激响应h(n)anu(n)h(n) a^n u(n)h(n)anu(n)特点h(n)h(n)h(n)为无限长序列随nnn增加呈指数衰减因存在极点zazaza且a≠0a \neq 0a0系统为递归型IIR系统。2.2 FIR系统示例差分方程y(n)x(n)ax(n−1)⋯aMx(n−M)y(n) x(n) a x(n-1) \dots a^{M} x(n-M)y(n)x(n)ax(n−1)⋯aMx(n−M)系统函数H(z)∑k0Makz−k1−aM1z−(M1)1−az−1zM1−aM1zM(z−a)H(z) \sum_{k0}^{M} a^k z^{-k} \frac{1 - a^{M1} z^{-(M1)}}{1 - a z^{-1}} \frac{z^{M1} - a^{M1}}{z^M (z - a)}H(z)∑k0M​akz−k1−az−11−aM1z−(M1)​zM(z−a)zM1−aM1​特点h(n)h(n)h(n)为有限长序列仅在0≤n≤M0 \leq n \leq M0≤n≤M非零无反馈所有ak0a_k0ak​0系统为非递归型FIR系统。三、滤波器设计基础3.1 滤波器的基本概念定义允许特定频率范围的信号通过抑制其他频率的信号。分类低通、高通、带通、带阻全通滤波器所有频率幅度响应恒为1仅改变相位。3.2 FIR滤波器的线性相位特性线性相位条件频率响应满足H(ejω)∣H(ejω)∣ejθ(ω)H(e^{j\omega}) |H(e^{j\omega})| e^{j\theta(\omega)}H(ejω)∣H(ejω)∣ejθ(ω)其中相位函数θ(ω)\theta(\omega)θ(ω)为ω\omegaω的线性函数。即θ(ω)−ωτ\theta(\omega) -\omega \tauθ(ω)−ωττ\tauτ为常数群延迟。实现方式通过设计单位冲激响应h(n)h(n)h(n)的对称性偶对称或奇对称实现线性相位。四、窗函数设计法FIR滤波器设计4.1 理想滤波器与实际滤波器的矛盾理想滤波器单位冲激响应hd(n)h_d(n)hd​(n)为无限长、非因果序列如理想低通的hd(n)h_d(n)hd​(n)为 sinc 函数。实际需求需将hd(n)h_d(n)hd​(n)截断为有限长序列h(n)h(n)h(n)通过窗函数w(n)w(n)w(n)实现h(n)hd(n)⋅w(n),0≤n≤N−1 h(n) h_d(n) \cdot w(n), \quad 0 \leq n \leq N-1h(n)hd​(n)⋅w(n),0≤n≤N−14.2 常用窗函数类型矩形窗Rectangular汉宁窗Hanning海明窗Hamming布莱克曼窗Blackman凯塞窗Kaiser4.3 窗函数的影响主瓣宽度决定滤波器过渡带宽度主瓣越窄过渡带越陡。旁瓣衰减决定阻带衰减旁瓣越小阻带衰减越大。五、频率采样法FIR滤波器设计5.1 设计思路在频率域对理想频率响应Hd(ejω)H_d(e^{j\omega})Hd​(ejω)进行采样得到H(k)H(k)H(k)。通过IDFT逆离散傅里叶变换得到单位冲激响应h(n)h(n)h(n)h(n)1N∑k0N−1H(k)ej2πNkn h(n) \frac{1}{N} \sum_{k0}^{N-1} H(k) e^{j \frac{2\pi}{N} kn}h(n)N1​k0∑N−1​H(k)ejN2π​kn验证H(k)H(k)H(k)为H(ejω)H(e^{j\omega})H(ejω)在ω2πkN\omega \frac{2\pi k}{N}ωN2πk​处的采样值。5.2 适用场景适用于需要精确控制频率响应采样点的场景如多带滤波器设计。六、IIR与FIR滤波器的对比6.1 结构与稳定性IIR递归结构极点需在单位圆内保证稳定设计复杂易不稳定。FIR非递归结构无反馈绝对稳定设计简单稳定性好。6.2 相位特性IIR通常为非线性相位需额外设计补偿。FIR可通过窗函数或频率采样法实现严格线性相位。6.3 运算复杂度IIR阶数低运算量小适合实时处理。FIR阶数高运算量大需权衡性能与复杂度。 如果本文对你有帮助欢迎✅ 关注我的CSDN第一时间收到系列更新✅ 关注公众号「手搓物理层」回复“PRACH”获取往期完整MATLAB 代码包调试脚本