6.3.1常见积性函数

常见积性函数

一些定义

• 数论函数：定义域为正整数的函数称为数论函数
• 积性函数：对于数论函数 \(f\) ，若任意互质的 \(p,q\) 都有 \(f(pq) = f(p)f(q)\) ，则称 \(f\) 是积性函数
• 完全积性函数：对于数论函数 \(f\) ，若任意 \(p,q\) 都有 \(f(pq) = f(p)f(q)\) ，则称 \(f\) 是完全积性函数
• 定义逐点加法：\((f+g)(x) = f(x) + g(x)\) ，\((f\cdot g)(x) = f(x)g(x)\)

定理1：积性函数一定满足 \(f(1) = 1\)

一些积性函数

单位函数：\(\varepsilon(n) = [n = 1]\)

常函数：\(1(n) = 1\)

恒等函数：\(id(n) = n\)

除数函数：\(\sigma(n) = \sum_{d \mid n} d\)